domingo, 27 de octubre de 2013

Noches de música y ciencia: presentación sobre Stockhausen

A partir de 2012 tengo el honor de participar como científico invitado en  el ciclo  "Noches de música y ciencia"  del notable pianista Horacio LavanderaEste texto es un resumen de mi presentación de Klavierstück XI (Stockhausen, 1956) en uno de los conciertos del ciclo, que tuvo lugar el pasado 23 de octubre de 2013 en el Teatro San Martín, San Miguel de Tucumán. 



La biblioteca de Stockhausen 

En más de una ocasión se ha comparado a Kafka con Lewis Carroll, matemático y autor de Alicia en el país de las maravillas. Los textos de uno y otro, se ha dicho, están más cerca del laberinto que del teorema. La obra Klavierstück XI, en cambio, puede ser leída en ambas claves: por un lado, la construcción formal de sus componentes básicos comprende un complejo y minucioso mecanismo de reglas; por otro lado, el orden y las repeticiones de tales componentes se determina de modo aleatorio, en un dispositivo que podría verse como un análogo musical de la asociación libre.
La construcción es, a grandes rasgos, la siguiente. En primer lugar, de acuerdo con los métodos del científico -o quizás del artesano- el compositor elabora cierto número de matrices, entendidas como meros rectángulos de números. A partir de dichas matrices se definen estructuras rítmicas que luego se combinan en una matriz única de 6 filas y 6 columnas. Finalmente, de un modo comparable a la lógica clásica (que distinguió, entre los 64 posibles silogismos, los 19 que representan formas válidas de razonamiento), se eligen 19 de las 36 estructuras disponibles para constituir los fragmentos sonoros con los que se desarrolla la obra. A continuación, estos fragmentos se escriben sobre el papel de la partitura en una configuración destinada a establecer una (¿ficticia?) situación de equiprobabilidad.
Tal es el material con el que cuenta -por decirlo de algún modo- el ejecutante: cada interpretación consiste en una secuencia aleatoria de los mencionados fragmentos. En rigor, no se trata de una secuencia verdaderamente aleatoria pues se prescribe una limitación: luego de producirse uno de los fragmentos, el intérprete debe elegir cualquiera de los otros pero sin repetir el que acaba de tocar. Por otra parte, el momento exacto de detención no es previsible, aunque está preestablecido de antemano por una regla precisa: la pieza concluye cuando cualquiera de los fragmentos se repite por tercera vez. De esta forma, se cumple una suerte de designio, prefigurado ya por la secuencia en su propia génesis. De acuerdo con los dictados de la combinatoria, las diferentes ejecuciones permiten desplegar una multiplicidad de variantes; sin embargo, al ser acotadas en su longitud, la cantidad total de secuencias es necesariamente finita y su número es calculable. En efecto, todos los fragmentos, salvo el último, se repiten a lo sumo dos veces; en consecuencia, la secuencia no puede tener una longitud mayor a 39 fragmentos.(1)
El conjunto de todas las secuencias posibles se organiza entonces según el modo propuesto en la borgeana biblioteca de Babel, cuyo narrador imagina ilimitada y periódica. Merece una mención especial el hecho de que Borges dijo que, al escribir este cuento, intentó “ambiciosa e inútilmente” ser Kafka. La biblioteca contiene en sus anaqueles todas las posibles combinaciones de un alfabeto compuesto por 25 signos: las 22 letras, la coma, el punto y el espacio. En ella se encuentra la totalidad de las producciones del lenguaje; cuando los hombres se dieron cuenta de esto, se sintieron poseedores de un secreto e intacto tesoro. Pero tenerlo todo es no tener nada: así como alguno de los libros escribe -por ejemplo- un relato de nuestro destino, asimismo pueden encontrarse múltiples versiones falaces de tal destino sin que haya forma de saber cuál es la verdadera. Según Borges, cualquier combinación de letras encierra un terrible sentido en alguna misteriosa lengua; por ejemplo,
axaxaxas 
que, según puede comprobarse. pertenece al peculiar lenguaje de Tlön.(2)
Cabe decir que, en un mundo así, el simple hecho de hablar se volvería insoportable, pues cualquier pieza de discurso se encontraría ya escrita en alguno de los volúmenes de los inagotables anaqueles. Como sea, los libros tienen una longitud que es respetable pero siempre acotada: 410 páginas de unos 3200 caracteres cada una, lo que da un total de 25^1312000 (25 elevado a la 1312000) libros. Muchísimos, pero finitos: eso permite asegurar que la biblioteca, de ser infinita, por fuerza debe repetirse. En tal caso nada nos impide, como Borges, imaginarla periódica.
A fines de tranquilizar al espectador, conviene aclarar que en esta charla se abordará solamente un número finito de temáticas y, desde ya, mucho menor que el número de posibles libros de la biblioteca. En efecto, nos dedicaremos a discutir apenas las nociones de finitud e infinitud, combinatoria y de aleatoriedad, entendida como ausencia de estructura. De un modo que puede parecer tautológico, la matemática suele denominar “infinitos” a aquellos conjuntos que no son finitos. Sin embargo, por uno de esos inesperados matices que tiene la teoría de conjuntos, existe también una forma positiva de entender el concepto de infinito, no como negación de la finitud sino, simplemente, como el de un conjunto equivalente a algunas de sus partes. Casi no hace falta agregar que este concepto fascinó también a Borges e inspiró, entre otras creaciones, su célebre Alef.
La combinatoria, en cambio, se mantiene en el terreno de lo finito, y se ocupa de las diferentes maneras de ordenar, acomodar o arreglar los elementos de un conjunto. Entre sus incumbencias se puede encontrar también el origen de la teoría de probabilidades, pensada en el sentido clásico (y, por supuesto, insuficiente) como un conteo de casos favorables sobre un total de casos posibles. Tal es la idea elemental que se encuentra ya en Laplace, aunque cabe efectuar una observación fundamental, también pertinente en el marco de Klavierstück XI: la noción de equiprobabilidad lleva implícita una petición de principios. Cuando decimos que, al arrojar una moneda al aire, hay un 50% de chances de que salga “cara”, por un lado estamos excluyendo un sinnúmero de otros eventos posibles (por ejemplo, que un ave nos arrebate la moneda en pleno vuelo); por otro, suponemos una moneda ideal, que no tiene mayor tendencia a caer de un lado que del otro. Este requisito nunca podrá ser satisfecho por una moneda material, pues cualquier avatar de su construcción o diseño sería causante de un desequilibrio que la teoría considera ilegítimo. Una efigie de un prócer de nariz más prominente, pongamos por caso, provocaría que la moneda salga “ceca” con mayor frecuencia. La partitura de Stockhausen, más allá de toda aspiración teórica, es material: su afán de encontrar una distribución en la hoja que permita emular una elección azarosa no es más que una ilusión. Eso no quita mérito a la construcción, aunque nos lleva a reflexionar seriamente acerca de la libertad de algunas de nuestras elecciones.
Unas palabras finales respecto del azar. Más allá de las definiciones (o quizás: indefiniciones) tradicionales, la lógica del siglo XX ha encontrado un nuevo y notable modo de entenderlo en términos de información. Imaginemos que tenemos que transmitir una secuencia pero, al modo de los antiguos telegramas, cada signo que enviamos resulta muy costoso. Entonces queremos reducirla lo máximo posible, y buscamos ciertas regularidades, patrones que nos permitan comprimir la información transmitida de modo tal que el receptor pueda reconstruir fielmente el texto original.
Una secuencia azarosa es aquella que esencialmente no se puede comprimir; vale decir, que requiere una cadena de longitud similar a la original para ser descripta. Cuando las secuencias tienen cierta estructura, entonces siempre es posible encontrar patrones: de esta manera, la aleatoriedad puede entenderse como ausencia de estructura. Ahora bien, -¡mala suerte!- resulta que es precisamente por medio de la compresión que comprendemos el mundo; por eso el azar nos confronta con aquello que es incomprensible. Según el matemático G. Chaitin, quien estudió a fondo estas nociones, podemos decir que comprensión es compresión: a su modo de ver, nuestra manera de entender el mundo dice más sobre nosotros que sobre el mundo. Esto nos hace pensar que, en el fondo, quizás toda la matemática no sea más que el resultado de una larga e incierta introspección.

Notas
(1) Según se ha calculado, el número de secuencias posibles es
17423935148332958167310127282862901334594
de modo que su ejecución consecutiva, sin dar tiempo al intérprete de descansar entre una y otra, llevaría varios millones de siglos. Respecto de las secuencias al azar se ha dicho que la moneda no tiene memoria, en el sentido de que en cada tirada la probabilidad de obtener cara vuelve a ser 1/2, sin que importe cuál fue la serie de resultados previos. En el caso de esta obra, podríamos decir que la moneda no tiene memoria, pero el intérprete sí: a corto plazo, pues debe recordar el último fragmento ejecutado para no repetirlo; a largo plazo, pues debe recordar la lista de fragmentos ejecutados para determinar el momento en que uno de ellos se repite por tercera vez.
(2) Vale la pena señalar que dicha combinación no sería válida bajo las reglas de la obra de Stockhausen, pues la palabra debería concluir al aparecer la letra a por tercera vez.

Noches de música y ciencia: presentación sobre Kagel

A partir de 2012 tengo el honor de participar como científico invitado en  el ciclo  "Noches de música y ciencia"  del notable pianista Horacio LavanderaEste texto es un resumen de mi presentación de Mimetics (Metapiece) (Kagel, 1961) en uno de los conciertos del ciclo, que tuvo lugar el pasado 23 de octubre de 2013 en el Teatro San Martín, San Miguel de Tucumán. 




Metamúsica: una calculada indeterminación

La obra Metapiece (Mimetics) es de 1961, el mismo año en que el compositor Milton Babbit anunció que la música tiene que establecerse como “un conjunto de axiomas, definiciones y teoremas, cuyas demostraciones deben derivarse por medio de una lógica apropiada”. El contexto no podría ser más adecuado para la meta-pieza de Kagel, cuya partitura incluye una variedad de procedimientos sonoros que comprenden elementos aleatorios, repeticiones minuciosas y hasta obsesivas de breves fragmentos o rápidos ritmos mecánicos, con pequeñas alteraciones introducidas a voluntad del ejecutante.
En tal dirección opera la mímesis, que entiende la imitación como fin esencial del arte y se opone a diégesis, según la cual la obra configura un relato, con una gramática que le es propia. Metapiece (Mimetics) se mimetiza con la avant-garde musical de la época, cuyos principales exponentes eran, entre otros, Boulez, Berio o Stockhausen. Al decir de Kagel, ningún arte realista puede ser creado sin figuras musicales que permitan al oyente completar una arquitectura musical en su propia mente. La música puede ser absoluta in abstracto, pero necesita un lazo con la realidad y eso explica la necesidad de una mímica.
Por otra parte, la obra incluye un detallado y preciso catálogo de instrucciones que alcanzan, como alguna vez se ha dicho, un nivel de absurda especificidad, cuyo fin último consiste en provocar la indeterminación. En definitiva, la partitura se convierte en un arreglo cuidadoso de elementos que se eligen libremente; las trece páginas que la conforman se pueden tocar según diferentes ordenamientos, o incluso ser salteadas. En cada página se introduce uno de los sucesivos acordes, que se denotan mediante las letras A, B, ..., M y se organizan bajo una forma tipo “acordeón” (o, si se quiere: acorde-ón), que permite el plegado y desplegado, De este modo, en las etapas de la ejecución se ven de una vez distintos subconjuntos de páginas no necesariamente contiguas.
Además, la obra completa admite, imitando ahora las formas de lectura del texto bíblico, cuatro modos diferentes de interpretación: si se opta por su ejecución simultánea o alternada con otras obras el título debe reescribirse como Mimetics (Metapiece). Se da lugar así al concepto de meta-pieza, pues la función de lo indeterminado y la infinidad de posibilidades actúan en el nivel metamusical, vale decir: un lenguaje que se refiere a elementos del lenguaje primario. La pieza proporciona un sistema riguroso de reglas que persiguen un objetivo notable: producir lo impredecible. El número de posibles ejecuciones es, en consecuencia, infinito; la probabilidad de ocurrencia de cada ejecución particular es 0. Esto puede parecer extraño, pues precisamente las ocurrencias ocurren; sin embargo, por un postulado básico de la teoría de probabilidades cualquier distribución uniforme en un conjunto con infinitos eventos equiprobables debe otorgar medida nula a cada uno de ellos.
En esta presentación se exploran diversos aspectos matemáticos, en especial aquellos que conciernen al azar, la indeterminación y la aparente paradoja de contar con un conjunto bien determinado de leyes que la rigen. A continuación haremos un breve repaso de dichos aspectos.
Tradicionalmente se ha entendido a los fenómenos azarosos como aquellos que son casuales. Sin embargo, el estudio matemático del azar nos ha forzado a entenderlo casi siempre como una forma de causalidad, aunque del tipo más desconcertante: aquella en la que las causas son tan complejas que no podemos rastrearlas. En tal sentido suele mencionarse una célebre frase atribuida a menudo a Poincaré:
El azar es la medida de nuestra ignorancia.
Cabe aclarar que, en realidad, el francés expresaba una idea algo diferente, la de una causalidad probabilitaria: el azar no se debe a nuestra ignorancia sino, en última instancia, a la falta de sustento experimental que permita abarcar una gran multiplicidad de causas y efectos. La matemática ha logrado formular leyes capaces de medir el azar y sus efectos, pero siempre con la limitación previa de un espacio de eventos posibles establecido a priori. Por eso, desde el punto de vista estrictamente filosófico, la matemática no es capaz de dar cuenta del azar absoluto.
En este punto, la obra nos pone ante una pregunta crucial: ¿Se puede simular el azar? De acuerdo con la idea anterior el azar absoluto no debería poder estar sujeto a las reglas de un algoritmo, aunque hay algoritmos que imitan (por no decir que se mimetizan) comportamientos verdaderamente azarosos. Un ejemplo de esto es, como veremos en la charla, el desarrollo decimal de algunos números irracionales.
Por otra parte, la indeterminación puede pensarse en sus acepciones más básicas, a partir de aquellos problemas con un número infinito de soluciones, o de expresiones cuyas formas pueden modificarse de acuerdo a los distintos valores de sus variables. Además, la indeterminación remite también a una noción, más cercana a la incertidumbre, que pone una frontera concreta a lo que se puede conocer. Y ya que la música involucra al tiempo, vale la pena mencionar, finalmente, el concepto de caos, tal como se define en los sistemas dinámicos, que aparece en situaciones en los que una minúscula modificación en las condiciones iniciales puede provocar grandes variaciones en el comportamiento futuro.
El carácter de esta charla -de algún modo, impredecible- pretende dar cuenta de todos estos aspectos de forma accesible y amena. De esta forma se procura, entre otras cosas, evitar la necesidad de un meta-metalenguaje que explique lo ocurrido al nivel del metalenguaje... y así sucesivamente. 

martes, 22 de octubre de 2013

Más sobre el concierto del 23

Les muestro el afiche que preparó la gente de SIDETEC (Secretaría de Estado de Innovación y Desarrollo Tecnológico de la Provincia de Tucumán) para el evento de mañana... Como puede verse, aparece una auténtica luna tucumana de fondo.

lunes, 21 de octubre de 2013

Nota en revista Veintitrés: Un concierto a dos voces.

Les comparto la entrevista que nos hizo Raquel Roberti a propósito del concierto del próximo miércoles. Para ver la nota, cliquear aquí.

sábado, 19 de octubre de 2013

Volvió el ciclo "Noches de música y ciencia". Les dejo el flyer del próximo concierto, que se llevará a cabo en la ciudad de Tucumán. El programa se puede consultar acá.